五个有趣的拓扑变换问题

五个有趣的拓扑变换问题:     如果你喜欢上次的空间想象能力挑战,你一定会喜欢 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书。书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题,在此与大家分享。注意游戏规则:我们假设所有物体都是用橡胶做成的,可以随意地拉伸、挤压、弯曲,但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。     1. 能否把左图连续地变形为右图?       

    2. 能否把左图连续地变形为右图?       

    3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆。能否通过连续变换,把这个圆变到右图所示的位置?       

    4. 在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换,把这个轮胎的内表面翻到外面来?       

    5. 能否把左图连续地变形为右图?       

    1. 能否把左图连续地变为右图?       

    答案是可以的,如下图所示:       

    这意味着,假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形,那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后,我们可以不放开手指,把圆环给解开来。 Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 一书里画了一张非常漂亮的示意图:       

    更加有趣的是,如果仅仅是手腕上多了一块手表,上述方案就不能得逞了:       

    2. 能否把左图连续地变为右图?       

    答案是可以的,如下图所示:       

    这也是一个非常有趣的拓扑学结论。假设有一个可以任意变形的手铐,把它拷在一个人的双手上,再让这个人的两只手紧握在一起不放,那么你可以把其中一个拷环给解下来!

    3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆。能否通过连续变换,把这个圆变到右图所示的位置?       

    答案是可以的,如下图所示:       

    4. 在一个轮胎的表面上打一个洞。能否通过连续变换,把这个轮胎的内表面翻到外面来?       

    答案是可以的。首先,作出如下图所示的连续变换。可以看到,一个表面有洞的轮胎本质上等于两个粘在一起的纸圈!不过,注意纸圈 1 和纸圈 2 的地位不太一样:一个是白色的面(即最初轮胎的内表面)冲外,一个是阴影面(即最初轮胎的外表面)冲外。现在,把纸圈 2 当成原来的纸圈 1 ,把纸圈 1 当成原来的纸圈 2 ,倒着把它们变回轮胎形,轮胎的内外表面也就颠倒过来了。       

    有趣的是,把轮胎的内表面翻出来之后,轮胎上的“经线”和“纬线”(姑且这么叫吧)也将会颠倒过来:       

    Wikipedia 上有一个巨帅无比的动画,直接展示出了把一个圆环面的内表面翻到外面来的过程。此动画看着非常上瘾,小心一看就是 10 分钟!       

    5. 能否把左图连续地变为右图?       

    答案是可以的。首先,作出如下图所示的连续变换,于是就变成了问题 1 中的图 (a) 。再利用问题 1 的办法,即可变出我们想要的形状来。       

Written on December 19, 2012